Explorando A Volatilidade Médica Mover Ponderada Exponencialmente é a medida mais comum de risco, mas vem em vários sabores. Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, consulte Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro.) Usamos os dados atuais do preço das ações da Googles para calcular a volatilidade diária com base em 30 dias de estoque de dados. Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). Vs históricos. Volatilidade implícita Primeiro, colocamos essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é o prólogo que medimos a história na esperança de que seja preditivo. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora o histórico que resolve para a volatilidade implícita nos preços de mercado. Espera que o mercado conheça melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que de forma implícita, uma estimativa consensual da volatilidade. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites da Volatilidade.) Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), eles têm dois passos em comum: Calcule a série de retornos periódicos Aplicar um esquema de ponderação Primeiro, nós Calcule o retorno periódico. Isso geralmente é uma série de retornos diários, em que cada retorno é expresso em termos compostos continuamente. Para cada dia, tomamos o log natural da proporção dos preços das ações (ou seja, preço hoje dividido por preço ontem e assim por diante). Isso produz uma série de retornos diários, de u i to u i-m. Dependendo de quantos dias (m dias) estamos medindo. Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior (Usando o Volatility To Gauge Future Risk), mostramos que sob um par de simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos quadrados: Observe que isso resume cada um dos retornos periódicos, então divide esse total pelo Número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos quadrados. Dito de outra forma, cada retorno quadrado recebe um peso igual. Então, se o alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, um 1m), então uma variância simples parece algo assim: O EWMA melhora a diferença simples. A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos ganham o mesmo peso. O retorno de Yesterdays (muito recente) não tem mais influência sobre a variação que o retorno dos últimos meses. Esse problema é corrigido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual os retornos mais recentes têm maior peso na variância. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) apresenta lambda. Que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser inferior a um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma: por exemplo, RiskMetrics TM, uma empresa de gerenciamento de risco financeiro, tende a usar uma lambda de 0,94 ou 94. Neste caso, o primeiro ( Mais recente) o retorno periódico ao quadrado é ponderado por (1-0,94) (94) 0 6. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior neste caso 6 multiplicado por 94 5,64. E o peso do terceiro dia anterior é igual (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Esse é o significado de exponencial em EWMA: cada peso é um multiplicador constante (isto é, lambda, que deve ser inferior a um) do peso dos dias anteriores. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação a dados mais recentes. (Para saber mais, confira a Planilha do Excel para a Volatilidade dos Googles.) A diferença entre a simples volatilidade e o EWMA para o Google é mostrada abaixo. A volatilidade simples efetivamente pesa cada retorno periódico em 0.196 como mostrado na Coluna O (tivemos dois anos de dados diários sobre o preço das ações. Isso é 509 devoluções diárias e 1509 0.196). Mas observe que a coluna P atribui um peso de 6, então 5.64, depois 5.3 e assim por diante. Essa é a única diferença entre variância simples e EWMA. Lembre-se: depois de somar toda a série (na coluna Q), temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos volatilidade, precisamos lembrar de tomar a raiz quadrada dessa variância. Qual é a diferença na volatilidade diária entre a variância e EWMA no caso do Googles. É significativo: a variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2,4, mas a EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1,4 (veja a planilha para obter detalhes). Aparentemente, a volatilidade de Googles estabeleceu-se mais recentemente, portanto, uma variação simples pode ser artificialmente alta. A diferença de hoje é uma função da diferença de dias de Pior. Você notará que precisamos calcular uma série longa de pesos exponencialmente decrescentes. Nós não vamos fazer a matemática aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que toda a série se reduz convenientemente a uma fórmula recursiva: Recursiva significa que as referências de variância de hoje (ou seja, são uma função da variância dos dias anteriores). Você também pode encontrar esta fórmula na planilha e produz exatamente o mesmo resultado que o cálculo de longo prazo. A variação de hoje (sob EWMA) é igual a variância de ontem (ponderada por lambda) mais retorno quadrado de ontem (pesado por menos a lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos em conjunto: variância ponderada de ontem e atraso de ontem, retorno quadrado. Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como RiskMetrics 94) indica decadência mais lenta na série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles vão cair mais devagar. Por outro lado, se reduzirmos a lambda, indicamos maior deterioração: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto da rápida deterioração, são usados menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar sua sensibilidade). Resumo A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de um estoque e a métrica de risco mais comum. É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variação historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variância simples. Mas a fraqueza com variância simples é que todos os retornos recebem o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo será diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) melhora a variação simples ao atribuir pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um grande tamanho de amostra, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes. (Para ver um tutorial de filme sobre este tópico, visite a Tartaruga Bionica.) Exemplo de cálculo de valor em risco Exemplo de cálculo de valor em risco Este estudo de caso Valor em Risco (VaR) mostra como calcular VaR no Excel usando dois métodos diferentes (Covariância de Variância e Simulação histórica) com dados publicamente disponíveis. O que você precisará da página de recursos e referência do Value at Risk. Conjunto de dados para os preços no local do ouro que podem ser baixados da Onlygold para o período de 1 a junho de 2017 a 29 de junho de 2017 Conjunto de dados para os preços spot do petróleo bruto WTI que podem ser baixados da EIA. gov para o período de 1 de junho de 2017 A 29 de junho de 2017 Exemplo de valor em risco Cobrimos os métodos de Covariância de Variância (VCV) e Simulação Histórica (HS) para calcular o Valor em Risco (VaR). Na lista abaixo, os primeiros 6 itens pertencem à abordagem VCV enquanto os 3 itens finais se relacionam com a abordagem de Simulação Histórica. Dentro da abordagem VCV, duas metodologias separadas para determinar a volatilidade subjacente dos retornos são consideradas como método de média móvel simples (SMA) e o método da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). O VaR usando Monte Carlo Simulation não está coberto nesta publicação. Vamos mostrar cálculos para: SMA volatilidade diária SMA diária VaR J-day holding SMA VaR Carteira segurando SMA VaR EWMA volatilidade diária J-day período de retenção EWMA VaR Evolução histórica diária VaR Simulação histórica J-day holding VaR 10 dias de retenção simulação histórica VaR Montante de perda para um nível de confiança 99 Valor em risco exemplo Contexto 8211 Nosso portfólio compreende exposição física a 100 onças troy de ouro e 1000 barris de WTI Crude. O preço do ouro (por onça troy) é 1.598,50 eo preço do WTI (por barril) é 85,04 em 29-Jun-2017. Data series de preços de dados Os dados de preços históricos para ouro e WTI foram obtidos para o período de 1 de junho a 29 de junho de 2017, da onlygold e da eia. gov, respectivamente. O período considerado no cálculo VaR é denominado período de retrocesso. É o momento em que o risco deve ser avaliado. A Figura 1 mostra um extracto dos dados diários da série temporal: Figura 1: Dados da série de tempo para o ouro e WTI A série de retorno O primeiro passo para qualquer uma das abordagens VaR é a determinação da série de retorno. Isso é conseguido tomando o logaritmo natural da proporção de preços sucessivos, como mostrado na Figura 2: Figura 2: Dados da Série de Retorno para o Ouro e WTI Por exemplo, o retorno diário para o ouro em 2 de junho de 2017 (Cell G17) é calculado Como LN (Cell C17 Cell C 16) ln (1539.501533.75) 0.37. Variância Covariância Média de Movimento Simples (SMA) A próxima volatilidade diária da SMA é calculada. A fórmula é a seguinte: Rt é a taxa de retorno no tempo t. E (R) é a média da distribuição de retorno que pode ser obtida em EXCEL tomando a média da série de retorno, ou seja, MÉDIA (matriz de séries de retorno). Soma as diferenças quadradas de Rt sobre E (R) em todos os pontos de dados e divida o resultado pelo número de retornos na série menos para obter a variância. A raiz quadrada do resultado é o desvio padrão ou a volatilidade SMA da série de retorno. Alternativamente, a volatilidade pode ser calculada diretamente no EXCEL usando a função STDEV, aplicada na série de retorno, como mostrado na Figura 3: Figura 3: Dados da série Return para Gold e WTI A volatilidade diária de SMA para Gold na célula F18 é calculada como STDEV (Matriz de séries de retorno de ouro). A volatilidade diária SMA para o ouro é 1.4377 e para WTI é 1.9856. VaR diário da SMA Quanto você perde, durante um determinado período de detenção e com uma VaR de probabilidade determinada, a perda de pior caso pode ser registrada em uma carteira ao longo de um período de retenção com uma determinada probabilidade ou nível de confiança. Por exemplo, assumindo um nível de confiança 99, um VaR de US $ 1 milhão em um período de espera de dez dias significa que há apenas uma chance de um por cento de que as perdas excederão USD 1 nos próximos dez dias. As abordagens SMA e EWMA para VaR assumem que os retornos diários seguem uma distribuição normal. O VaR diário associado a um determinado nível de confiança é calculado como: Volatilidade VaR diária ou desvio padrão do valor z da série de retorno do inverso da função de distribuição cumulativa normal padrão (CDF) correspondente a um nível de confiança especificado. Agora podemos responder a seguinte pergunta: O que é o SMA VaR diário para o ouro e o WTI em um nível de confiança de 99 Isso é mostrado na Figura 4 abaixo: Figura 4: VaR Daily VaR Daily Ouro calculado na célula F16 é o produto do Volatilidade diária de SMA (célula F18) e o valor z do inverso do CDF normal padrão para 99. Em EXCEL, o escore z inverso no nível de confiança 99 é calculado como NORMSINV (99) 2.326. Assim, o VaR diário para ouro e WTI no nível de confiança 99 funciona para 3.3446 e 4.6192, respectivamente. J-day holding SMA VaR Cenário 1 A definição de VaR acima mencionada considera três coisas, perda máxima, probabilidade e período de retenção. O período de detenção é o tempo que levaria para liquidar a carteira de ativos no mercado. Em Basileia II e Basileia III, um período de retenção de dez dias é uma suposição padrão. Como você incorpora o período de retenção em seus cálculos O que é a retenção SMA VaR para WTI amp Gold por um período de retenção 10 dias a um nível de confiança de 99 Período de retenção VaR Daily VaR SQRT (período de retenção em dias) Onde SQRT (.) É Função de raiz quadrada EXCELs. Isso é demonstrado para o WTI e o Gold na Figura 5 abaixo: Figura 5: período de espera de 10 dias Nível de confiança VaR 99 O valor de confiança VaR para ouro a 99 (Cell F15) é calculado pela multiplicação do VaR diário (célula F17 ) Com a raiz quadrada do período de retenção (célula F16). Isso funciona para ser 10.5767 para o ouro e 14.6073 para o WTI. J-day holding SMA VaR Cenário 2 Vamos considerar a seguinte pergunta: O que é a retenção SMA VaR para o amplificador de ouro WTI para um período de espera de 252 dias a um nível de confiança de 75 Note que 252 dias são considerados para representar dias de negociação em um ano. A metodologia é a mesma usada antes para calcular o VaR de SMA de 10 dias no nível de confiança 99, exceto que o nível de confiança e o período de espera são alterados. Portanto, primeiro determinamos o VaR diário no nível de confiança 75. Lembre-se de que o VaR diário é o produto da volatilidade diária do SMA dos retornos subjacentes e do escore z inverso (aqui calculado para 75, ou seja, NORMSINV (75) 0.6745). O VaR diário resultante é então multiplicado com a raiz quadrada de 252 dias para chegar ao VaR de retenção. Isto está ilustrado na Figura 6 abaixo: Figura 6: período de espera de 252 dias VaR 75 nível de confiança 25V de 25 dias de retenção VaR em 75 para o ouro (célula F15) é o produto do VaR diário calculado ao nível de confiança 75 (Cell F17) e A raiz quadrada do período de espera (célula F16). É 15.3940 para o ouro e 21.2603 para o WTI. O VaR diário, por sua vez, é o produto da volatilidade diária de SMA (Cell F19) e da pontuação Z inversa associada ao nível de confiança (Cell F18). Carteira segurando SMA VaR Até agora, consideramos apenas o cálculo do VaR para ativos individuais. Como estendemos o cálculo à carteira VaR Como são as correlações entre os ativos contabilizados na determinação da carteira VaR Consideremos a seguinte questão: Qual é a retenção de 10 dias da SMA VaR para uma carteira de Ouro e WTI a um nível de confiança de 99 O primeiro passo neste cálculo é a determinação de pesos para ouro e WTI em relação ao portfólio. Vamos revisar a informação do portfólio mencionada no início do estudo de caso: o portfólio compreende 100 onças troy de ouro e 1000 barris de WTI Crude. O preço do ouro (por onça troy) é 1.598,50 eo preço do WTI (por barril) é 85,04 em 29-Jun-2017. O cálculo dos pesos é mostrado na Figura 7 abaixo: Figura 7: Pesos de ativos individuais na carteira Os pesos foram avaliados com base no valor de mercado da carteira em 29 de junho de 2017. Os valores de mercado dos ativos são calculados multiplicando a quantidade de um determinado bem na carteira com seu preço de mercado em 29 de junho de 2017. Os pesos são então calculados como o valor de mercado do ativo dividido pelo valor de mercado da carteira onde o valor de mercado da carteira é a soma dos valores de mercado em todos os ativos da carteira. Em seguida, determinamos um retorno médio ponderado para o portfólio para cada ponto de dados (data). Isso é ilustrado na Figura 8 abaixo: Figura 8: Retornos de carteira O retorno médio ponderado da carteira para uma determinada data é calculado como a soma em todos os ativos do produto do retorno de ativos para essa data e os pesos. Por exemplo, para 2 de junho de 2017, o retorno do portfólio é calculado como (0,3765,27) (0,13134,73) 0,28. Isso pode ser feito em EXCEL usando a função SUMPRODUCT como mostrado na barra de função da Figura 8 acima, aplicada na linha de pesos (Cell C19 to Cell D19) e linhas de retorno (Cell Fxx to Cell Gxx) para cada data. Para manter a linha de peso constante na fórmula, quando é copiada e colada no intervalo de pontos de dados, os sinais de dólar são aplicados às referências de células de linha de pesos (isto é, C19: D19). Para calcular a volatilidade, o VaR diário e o VaR do período de detenção para a carteira aplicam as mesmas fórmulas utilizadas para os ativos individuais. Ou seja, volatilidade diária da SMA para a carteira STDEV (matriz de retornos de carteira) VaR diário SMA para a carteira Volatilidade diária NORMSINV (X) e VaR do período de detenção para a carteira Daily VaRSQRT (período de retenção). Agora podemos responder a pergunta: O que é o SMA VaR de 10 dias para um portfólio de Gold e WTI a um nível de confiança de 99. É 9.1976. Abordagem de covariância de variância 8211 Média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) Vamos agora ver como o VRV VaR da média móvel ponderada exponencial (EWMA) é calculado. A diferença entre os métodos SMA do amplificador EWMA para a abordagem VCV reside no cálculo da volatilidade subjacente dos retornos. Em SMA, a volatilidade () é determinada (como mencionado anteriormente) usando a seguinte fórmula: Em EWMA, no entanto, a volatilidade da distribuição de retorno subjacente () é calculada da seguinte forma: Enquanto o método SMA atribui igual importância aos retornos na série, O EWMA dá maior ênfase aos retornos de datas e períodos mais recentes, pois a informação tende a tornar-se menos relevante ao longo do tempo. Isso é alcançado especificando um parâmetro lambda (), onde 0lt lt1 e colocando pesos exponencialmente decrescentes em dados históricos. O. O valor determina a idade do peso dos dados na fórmula, de modo que menor o valor de. Quanto mais rápido o peso se deteriora. Se a administração espera que a volatilidade seja muito instável, isso dará muito peso às observações recentes, enquanto se espera que a volatilidade seja estável que daria pesos mais iguais às observações mais antigas. A Figura 9 abaixo mostra como os pesos utilizados para determinar a volatilidade EWMA, são calculados em EXCEL: Figura 9: Pesos utilizados no cálculo da volatilidade EWMA Existem 270 retornos em nossa série de retorno. Utilizamos uma lambda de 0,94, um padrão da indústria. Vejamos primeiro a coluna M na Figura 9 acima. O último retorno da série (para 29-jun-2017) é atribuído t-10, o retorno de 28 de junho de 2017 será atribuído t-11 e assim por diante, de modo que o primeiro retorno em nossa série temporal 2-Jun - 2017 tem t-1 269. O peso é um produto de dois itens 1- lambda (coluna K) e lambda elevado ao poder de t-1 (coluna L). Por exemplo, o peso em 2-jun-2017 (Cell N25) será Cell K25 Cell L25. Pesos Escalonados Como a soma dos pesos não é igual a 1, é necessário dimensioná-los para que sua soma seja igual à unidade. Isso é feito dividindo os pesos calculados acima em 1- n, onde n é o número de retornos na série. A Figura 10 mostra isso abaixo: Figura 10: Pesos dimensionados utilizados no cálculo da volatilidade de EWMA EWMA Variance EWMA Variance é simplesmente a soma em todos os pontos de dados da multiplicação de retornos quadrados e os pesos dimensionados. Você pode ver como o produto dos retornos quadrados e os pesos dimensionados são calculados na barra de função da Figura 11 abaixo: Figura 11: Série de retorno quadrado ponderada usada para determinar a diferença de EWMA Depois de ter obtido esta série de séries de resultados de pesos por vezes quadrados, Resumir toda a série para obter a variância (veja a Figura 12 abaixo). Nós calculamos essa variação para Gold, WTI ampliam a carteira (usando o valor de mercado dos ganhos ponderados dos ativos determinados anteriormente): Figura 12: Variação EWMA Volatilidade EWMA diária A volatilidade EWMA diária para Gold, WTI ampliação do portfólio é descoberta tomando o quadrado Raiz da variância determinada acima. Isso é mostrado na barra de função da Figura 13 abaixo para o ouro: Figura 13: Volatilidade EWMA diária EWMA diária VaR Daily EWMA VaR Volatilidade diária EWMA z-valor do CDF normal padrão inverso. Este é o mesmo processo utilizado para determinar o VaR SMA diário após a obtenção de volatilidade SMA diária. A Figura 14 mostra o cálculo do VaR EWMA diário no nível de confiança 99: Figura 14: Vaqueiro EWMA diário do J-Day Holding EWMA VaR Holding EWMA VaR Daily EWMA VaR SQRT (período de retenção) que é o mesmo processo usado para determinar a retenção de SMA VaR após Obtendo VaR diário SMA. Isso é ilustrado para o VaR de EWMA de retenção de 10 dias na Figura 15 abaixo: Figura 15: Realização de retornos encomendados pelo VaR VaR da VaW VaW. Ao contrário da abordagem VCV para VaR, não há nenhuma suposição sobre a distribuição de retorno subjacente na abordagem de simulação histórica. O VaR é baseado na distribuição de retorno real, que por sua vez é baseada no conjunto de dados usado nos cálculos. O ponto de partida para o cálculo do VaR para nós, então, é a série de retorno derivada anteriormente. Nossa primeira ordem de negócios é reordenar a série em ordem crescente, desde o menor retorno ao maior retorno. A cada retorno encomendado é atribuído um valor de índice. Isso está ilustrado na Figura 16 abaixo: Figura 16: Retornos diários ordenados Velocidade histórica diária VaR Existem 270 retornos na série. No nível de confiança 99, o VaR diário sob este método é igual ao retorno correspondente ao número de índice calculado da seguinte forma: (nível de confiança 1) Número de retornos onde o resultado é arredondado para o número inteiro mais próximo. Esse número representa o número de índice para um retorno dado, conforme mostrado na Figura 17 abaixo: Figura 17: Determinação do número de índice correspondente ao nível de confiança O retorno correspondente a esse número de índice é o VaR de simulação histórica diária. Isso é mostrado na Figura 18 abaixo: Figura 18: VaR Histórico Diário VaR As pesquisas da função VLOOKUP retornam ao valor do índice correspondente do conjunto de dados de retorno da ordem. Observe que a fórmula toma o valor absoluto do resultado. Por exemplo, no nível de confiança 99, o número inteiro funciona para 2. Para o ouro, isso corresponde com o retorno de -5.5384 ou 5.5384 em termos absolutos, ou seja, existe uma chance de que o preço do ouro caia em mais de 5.5384 ao longo de um Período de espera de 1 dia. VaR de 10 dias VaR de simulação histórica Quanto à abordagem VCV, o VaR de retenção é igual ao VaR diário, a raiz quadrada do período de retenção. Para o ouro, isso funciona para 5.5384SQRT (10) 17.5139. Quantidade da perda de pior caso, então, qual é a quantidade de perda de pior caso para o ouro durante um período de espera de 10 dias que só será excedido 1 dia em 100 dias (ou seja, 99 níveis de confiança) calculado usando a abordagem de Simulação Histórica Pior Perda de Caso para Ouro 99 nível de confiança ao longo de um período de retenção de 10 dias Valor de mercado do ouro VaR de 10 dias (1598.50100) 17.5139 USD 27.996. Há uma chance de que o valor do Gold na carteira perca um valor superior a USD 27.996 durante um período de espera de 10 dias. A Figura 19 resume isso abaixo: Figura 19: montante de perda de VaR de retenção de 10 dias no nível de confiança 99 Publicações relacionadas: estimativa de valor em risco e teste de retorno Este exemplo mostra como estimar o valor em risco (VaR) usando três métodos, E como realizar uma análise de backtesting de VaR. Os três métodos são: Distribuição normal Simulação histórica Média móvel ponderada exponencial (EWMA) O valor em risco é um método estatístico que quantifica o nível de risco associado a um portfólio. O VaR mede a quantidade máxima de perda em um horizonte de tempo especificado e em um determinado nível de confiança. Backtesting mede a precisão dos cálculos VaR. Usando métodos de VaR, a previsão de perda é calculada e comparada às perdas reais no final do dia seguinte. O grau de diferença entre as perdas previstas e reais indica se o modelo VaR está subestimando ou superestimando o risco. Como tal, backtesting parece retrospectivamente em dados e ajuda a avaliar o modelo VaR. Os três métodos de estimativa utilizados neste exemplo estimam o VaR em 95 e 99 níveis de confiança. Carregar os dados e definir a janela de teste Carregar os dados. Os dados utilizados neste exemplo são de uma série temporal de retornos no índice SampP entre 1993 e 2003. Defina a janela de estimativa como 250 dias de negociação. A janela de teste começa no primeiro dia em 1996 e passa pelo final da amostra. Para um nível de confiança VaR de 95 e 99, defina o complemento do nível VaR. Esses valores significam que existe no máximo uma probabilidade de 5 e 1, respectivamente, de que a perda incorrida será maior do que o limite máximo (ou seja, maior do que o VaR). Calcular o VaR Usando o Método de Distribuição Normal Para o método de distribuição normal, assumir que o lucro e a perda do portfólio são normalmente distribuídos. Usando essa suposição, computa o VaR multiplicando o z - score, em cada nível de confiança pelo desvio padrão dos retornos. Uma vez que o backtesting de VaR parece retrospectivamente em dados, o VaR hoje é calculado com base nos valores dos retornos nos últimos 250 dias que conduzem, mas não inclusive, hoje. O método de distribuição normal também é conhecido como VaR paramétrico porque sua estimativa envolve a computação de um parâmetro para o desvio padrão dos retornos. A vantagem do método de distribuição normal é a sua simplicidade. No entanto, a fraqueza do método de distribuição normal é a suposição de que os retornos são normalmente distribuídos. Outro nome para o método de distribuição normal é a abordagem variância-covariância. Calcule o VaR Usando o Método de Simulação Histórico Ao contrário do método de distribuição normal, a simulação histórica (HS) é um método não paramétrico. Não assume uma distribuição específica dos retornos dos ativos. As previsões de simulação histórica arriscam assumindo que os lucros e perdas passados podem ser usados como a distribuição de lucros e perdas para o próximo período de retorno. O VaR hoje é calculado como o p th-quantile dos últimos retornos de N antes de hoje. A figura anterior mostra que a curva de simulação histórica tem um perfil constante por partes. A razão para isso é que os quantiles não mudam por vários dias até ocorrerem eventos extremos. Assim, o método de simulação histórico é lento para reagir às mudanças na volatilidade. Calcule o VaR Usando o Método da Média Mover Ponderada Exponencial (EWMA) Os dois primeiros métodos de VaR assumem que todos os retornos passados carregam o mesmo peso. O método de média móvel ponderada exponencial (EWMA) atribui pesos distintos, particularmente pesos exponencialmente decrescentes. Os retornos mais recentes têm pesos mais altos porque influenciam o retorno de hoje mais forte do que os retornos no passado. A fórmula para a variância EWMA em uma janela de estimativa de tamanho é: por conveniência, assumimos uma janela de estimativa infinitamente grande para aproximar a variância: um valor do fator de decaimento freqüentemente usado na prática é de 0,94. Este é o valor usado neste exemplo. Para obter mais informações, consulte Referências. Inicie o EWMA usando uma fase de aquecimento para configurar o desvio padrão. Use o EWMA na janela de teste para estimar o VaR. Na figura anterior, o EWMA reage muito rapidamente a períodos de grandes (ou pequenos) retornos. VaR Backtesting Na primeira parte deste exemplo, o VaR foi estimado sobre a janela de teste com três métodos diferentes e com dois níveis de confiança de VaR diferentes. O objetivo do backsting VaR é avaliar o desempenho dos modelos VaR. Uma estimativa de VaR com confiança 95 é violada apenas cerca de 5 do tempo, e as falhas de VaR não se agrupam. O agrupamento de falhas de VaR indica a falta de independência ao longo do tempo porque os modelos de VaR são lentos para reagir às mudanças nas condições do mercado. Um primeiro passo comum na análise de backtesting de VaR é traçar os retornos e as estimativas VaR em conjunto. Trace os três métodos no nível de confiança 95 e compare-os com os retornos. Para destacar como as diferentes abordagens reagem de forma diferente às mudanças nas condições do mercado, você pode ampliar a série temporal onde há uma mudança grande e repentina no valor dos retornos. Por exemplo, em torno de agosto de 1998: uma falha de VaR ou violação ocorre quando os retornos têm um VaR negativo. Um olhar mais próximo em torno de 27 de agosto a 31 de agosto mostra um declínio significativo nos retornos. Nas datas a partir de 27 de agosto em diante, o EWMA segue a tendência dos retornos de perto e com mais precisão. Conseqüentemente, a EWMA tem menos violações de VaR (dois) em comparação com a abordagem de distribuição normal (sete violações) ou o método de simulação histórica (oito violações). Além das ferramentas visuais, você pode usar testes estatísticos para o teste de retorno de VaR. Na Caixa de Ferramentas de Gerenciamento de Riscos, um objeto varbacktest oferece suporte a testes estatísticos múltiplos para análise de backtesting VaR. Neste exemplo, comece por comparar os diferentes resultados de testes para a abordagem de distribuição normal nos níveis VaR 95 e 99. O relatório de resumo mostra que o nível observado está próximo o suficiente ao nível de VaR definido. Os níveis 95 e 99 de VaR possuem no máximo (1-VaRlevel) x N falhas esperadas, onde N é o número de observações. A relação de falha mostra que o nível VaR Normal95 está dentro do alcance, enquanto que o nível VaR Normal99 é impreciso e sub-previsões do risco. Para executar todos os testes suportados no varbacktest. Use runtests. O 95 VaR passa os testes de freqüência, como o semáforo, o binômio e a proporção de testes de falhas (colunas TL. Bin. E POF. O 99 VaR não passa esses mesmos testes, conforme indicado pelo amarelo e os resultados de rejeição. Ambos os níveis de confiança Foi rejeitado na independência de cobertura condicional e tempo entre a independência de falhas (colunas CCI e TBFI). Esse resultado sugere que as violações do VaR não são independentes, e provavelmente há períodos com várias falhas em um curto espaço de tempo. Além disso, uma falha pode torná-la Mais provável que outras falhas ocorram nos dias subseqüentes. Para obter mais informações sobre as metodologias de testes e a interpretação dos resultados, veja docid: riskug. bvaa3t4 e os testes individuais. Usando um objeto varbacktest, execute os mesmos testes no portfólio para os três Abordagens em ambos os níveis de confiança do VaR. Os resultados são semelhantes aos resultados anteriores, e no nível 95, os resultados de freqüência são geralmente aceitáveis. No entanto, a freqüência resulta de O nível 99 geralmente são rejeições. Em relação à independência, a maioria dos testes passa no teste de independência de cobertura condicional (docid: riskug. bvabiyt-1), que testa a independência em dias consecutivos. Observe que todos os testes falham o tempo entre o teste de independência de falhas (docid: riskug. bvabi29-1), que leva em consideração os tempos entre todas as falhas. Este resultado sugere que todos os métodos têm problemas com a suposição de independência. Para entender melhor como esses resultados mudam devido às condições do mercado, olhe os anos 2000 e 2002 para o nível de confiança 95 VaR. Para o ano 2000, os três métodos passam todos os testes. No entanto, para o ano de 2002, os resultados do teste são principalmente rejeições para todos os métodos. O método EWMA parece ter melhor desempenho em 2002, mas todos os métodos falham nos testes de independência. Para obter mais informações sobre os testes de independência, veja a independência de cobertura condicional (docid: riskug. bvabiyt-1) e o tempo entre os detalhes do teste de independência de falhas (docid: riskug. bvabi29-1) para o ano de 2002. Para acessar o teste Detalhes para todos os testes, execute as funções de teste individuais. No teste CCI, a probabilidade p 01 de ter uma falha no tempo t. Sabendo que não houve falha no tempo t -1 é dada pela probabilidade p 11 de ter uma falha no tempo t. Sabendo que houve uma falha no tempo, t -1 é dado pela N00. N10. N01. N11 colunas nos resultados do teste, o valor de p 01 é em torno de 5 para os três métodos, no entanto, os valores de p 11 são acima de 20. Como há evidência de que uma falha é seguida por outra falha com muito mais freqüência do que 5 Tempo, este teste CCI falha. No tempo entre o teste de independência de falhas, veja o mínimo, o máximo e os quadrantes da distribuição dos tempos entre falhas nas colunas TBFMin. TBFQ1. TBFQ2. TBFQ3. TBFMax. Para um nível VaR de 95, você espera um tempo médio entre falhas de 20 dias ou uma falha a cada 20 dias. No entanto, a mediana do tempo entre as falhas para o ano de 2002 varia entre 5 e 7,5 para os três métodos. Este resultado sugere que metade do tempo, duas falhas consecutivas ocorrem dentro de 5 a 7 dias, muito mais freqüentemente do que os 20 dias esperados. Consequentemente, mais falhas de teste ocorrem. Para o método normal, o primeiro quartil é 1, o que significa que 25 das falhas ocorrem em dias consecutivos. Referências Nieppola, O. Backtesting Value-at-Risk Models. Escola de Economia de Helsínquia. 2009. Danielsson, J. Previsão de Risco Financeiro: A Teoria e Praticante de Previsão de Risco de Mercado, com Implementação em R e MATLAB. Wiley Finance, 2017. MATLAB e Simulink são marcas registradas da The MathWorks, Inc. Por favor, veja mathworkstrademarks para obter uma lista de outras marcas comerciais pertencentes à The MathWorks, Inc. Outros produtos ou nomes de marcas são marcas comerciais ou marcas registradas de seus respectivos proprietários. Escolha o seu país
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